"Теорема Ивлева"
У каждого треугольника есть вписанная окружность. Эта та самая, которая внутри него и касается всех его сторон. Она будет фиолетовая, как и точка её касания со сторонами.
Вписанная окружность
А ещё у каждого треугольника есть его середины сторон (спасибо кэп!). Они будут зелёные.
А раз их три штуки, то они образуют треугольник и у него можно взять его описанную окружность, то есть ту которая его описывает (проходит через все вершины). Она тоже зелёная и называется окружностью девяти точек (можете прочитать на википедии почему)
Окружность девяти точек
Теорема Фейербаха
Один парень, по фамилии Фейербах, решил узнать как эти две окружности соотносятся между собой. И оказалось, что они всегда касаются друг друга, в любом треугольнике (кроме правильного, где они очевидно совпадают). Он ещё и доказал это.
Назовём точку касания в честь Фейербаха (и меня) через F.
Теорема Фейербаха
Мой черёд
Я решил покопаться в этом ещё поглубже. Взял треугольник из фиолетовых точек (точек касания вписанной окружности со сторонами), взял треугольник из зелёных точек (середин сторон треугольника) и пересёк из соответственные стороны в голубых точках (не спрашивайте почему я решил так сделать).
Оказалось, что если потом соединить эти голубые точки с соответственными фиолетовыми, то три полученные прямые пересекаются в одной точке (что уж не так что происходит), да ещё и в той самой точке Фейербаха.
"теорема Ивлева"
Послесловие
Не буду говорить, что я ещё делал с этой картинкой и к чему это привело...
Доказал я этот факт девять месяцев спустя после того, как обнаружил. Потом опубликовал статью с доказательством и съездил с этой теоремой на несколько конференций.
По-моему, красиво...
P.S. Все рисунки можно подвигать за вершины треугольника.