Geraden

Eine Gerade ist eine gradlinig verlaufende Linie die kein Ende hat und aus einem Stützvektorund einem Richtungsvektorbesteht. Beispiel an einer Formel: g:Vektor X = 1 4 2 + r * 5 3 6 Stützvektor Richtungsvektor

Der Stützvektor gibt die Höhe an, an der die gerade beginnt,
Während der Richtungsvektor halt die Richtung angibt.
Dazu kommt noch die unbestimmte Variable „r“, mit der wir durch einsetzten beliebiger Zahlen, ein Punkt auf der Gerade bestimmen können.

Diese können durch das Einsetzten der beliebigen Zahlen, sowohl im positiven als auch im negativen Bereich zu finden sein. Beispiel: 1 4 2 +(-5) 5 3 6

1 -20

2 + -25 3 -30

-19

-23 -> Punkt der sich im negativen Bereich befindet -27 Deswegen verläuft die Gerade nicht nur in eine Richtung, sondern in zwei. Umeine Gerade zu erstellen braucht man nur zwei Punkte, den einen als Stützvektor und den anderen als Richtungsvektor.

Der Punkt der als Stützvektor fungiert geht vom Ursprung aus und ist deswegen, wie wir bereits gelernt/erfahren haben, auch zugleich der Ortsvektor.
Während der Punkt, der als Richtungsvektor agiert , vom Ortsvektor ausgehen muss.

Beispiel zur Erstellung einer Gerade an zwei Punkte: Punkt1(1/2/3) Punkt2(4/5/6)

g:Vektor X= 1-0 4-1/3 -> g:Vektor X= Vektor0P1+r*(VektorP1P2)

2-0 +r* 5-2/3 3-0 6-3/3

g:Vektor X= 1 1-4/-3 -> g:Vektor X= Vektor0P1+r*(VektorP2P1)

2 +r* 2-5/-3 3 3-6/-3

g:Vektor X= 4 4-1/3 -> g:Vektor X= Vektor0P2+r*(VektorP1P2)

5 +r* 5-2/3 6 6-3/3

g:Vektor X= 4 1-4/-3 -> g:Vektor X= Vektor0P2+r*(VektorP1P2)

5 +r* 2-5/-3 6 3-6/-3 Dawir nun gesehen haben wie viele Geraden man aus zwei Punkten erstellen kann (vier um genau zu sein),was eine Gerade ist und wie sie aufgebaut ist, bleibt uns nur noch eine Sache klären. Wenn zum Beispiel ein weiterer Punkt gegeben ist und wir herausfinden wollen ob er auf der Gerade liegt. So müssen wir nur den Punkt mit der Gerade gleichsetzen und mit Hilfe des LGS ausrechnen. Wennes keine Lösung gibt, liegt dieser nicht auf der Gerade. Beispiel an einem Vektor und einem weiteren Punkt: 1 -4 -7 -> r = 2 2 +r* 5 = 7 -> LGS -> r = 1 -> liegt nicht auf der Gerade -3 6 9 -> r = 1 Und zum Schluss erkläre ich die Gegenseitige Lage von Geraden. Und zwar gibt es hierfür vier Möglichkeiten, entweder sind die Geraden parallel, gleich, windschief zueinander oder sie schneiden sich. Parallel: die Geraden verlaufen immer in einem bestimmten Abstand zueinander und schneiden sich nicht(wie die Eisenbahnschienen). Gleich: die beiden Geraden liegen ineinander und haben immer die gleichen Koordinaten. Schneiden: sie treffen/schneiden sich in dem Schnittpunkt S. Windschief: das heißt das sich die Geraden weder schneiden noch sind sie gleich oder parallel. Um diese vier Fälle zu ermitteln, müssen wir wie folgt vorgehen:

Als erstes gucken wir ob die Richtungsvektoren vielfache voneinander sind.

Ist dieser Fall gegeben, machen wir eine Punktprobe, indem wir ganz einfach den Stützvektor der einen Geraden mit der anderen Gerade gleichsetzten.

Wenn uns das LGS eine Lösung gibt, so sind die Geraden Gleich/liegen ineinander. Ansonsten sind sie nur Parallel.

Wenn dieser Fall nicht gegeben ist, dann setzen wir die beiden Geraden miteinander gleich.

Wenn uns das LGS uns eine Lösung gibt, so müssen wir die bestimmte Variable in die gegeben Gerade einfügen und erhalten somit den Schnittpunkt S -> Geraden schneiden sich im Punkt S. Hat das LGS keine Lösung so heißt es, dass die Geraden Windschief zueinander sind. Gleich: vielfache Richtungsvektor + / Punktprobe (mit LGS) + Parallel: vielfache Richtungsvektor + / Punktprobe (mit LGS) - Schneiden: vielfache Richtungsvektor - / Gleichsetzung (mit LGS) + Windschief: vielfache Richtungsvektor - / Gleichsetzung (mit LGS) -

windschiefe Geraden

Übungsaufgaben

Erstelle mit dem Vektoren A und B und den Vektoren C und D eine Gerade und bestimme ihre Lage. 3 6 2 8 VektorA= 7 Vektor B= 1 Vektor C= 2 Vektor D= 5 5 2 6 3

Geraden

Geraden

windschiefe Geraden

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