Risoluzione dei triangoli qualsiasi
Il teorema dei seni e quello di Carnot consentono di risolvere un triangolo qualsiasi, a patto di conoscere tre elementi, di cui almeno un lato.
Si possono incontrare quattro casi, in cui sono rispettivamente noti:
- un lato e due angoli
- due lati e l'angolo compreso
- due lati e l'angolo opposto a uno di essi
- tre lati
Caso 1 - Noti c, α e β, determinare a, b e γ
Ricordando che la somma delle misure degli angoli in un triangolo è uguale ad un angolo piatto, possiamo calcolare la misura del terzo angolo:
Utilizzando il teorema dei seni possiamo determinare le misure dei due lati e :
Caso 2 - Noti b, c e α, determinare a, β e γ
Applicando il teorema di Carnot possiamo determinare il lato :
Applicando invece la formula inversa del teorema di Carnot (scritto per il lato b) determiniamo l'angolo :
Infine, la misura dell'angolo si ricava direttamente dalla relazione
Caso 3 - Noti a, b e α, determinare c, β e γ
Applicando il teorema dei seni determiniamo :
A seconda del valore che assume si presentano tre casi differenti:
Se , allora il problema è impossibile (dalla definizione di seno).
Se , allora e occorre distinguere due casi:
- Se il problema è impossibile (la somma delle misure degli angoli in un triangolo deve essere uguale a )
- Se esiste una sola soluzione.
Caso 4 - Noti a, b e c, determinare α, β e γ
Calcoliamo la misura dell'angolo a partire dal teorema di Carnot:
e quella dell'angolo a partire dal teorema dei seni, distinguendo due casi:
- se è acuto, allora
- se è ottuso, allora