Globalverlauf ganzrationaler Funktionen
Damit man sich noch bevor man irgendwelche Dinge berechnet ein Bild der ganzrationalen Funktion machen kann, betrachtet man den Globalverlauf. Darunter verstehen wir die Beantwortung der beiden folgenden Fragen:
- Woher kommt die Funktion (von links unten oder von links oben)?
- Wohin verläuft die Funktion (nach rechts unten oder rechts oben)?
Die folgende Abbildung zeigt eine ganzrationale Funktion 2ten Grades f(x)=ax^2+bx+c. Die Koeffizienten können mit Hilfe der Schieberegler verändert werden. Finden Sie eine allgemeine Gesetzmäßigkeit für den Globalverlauf, d.h. finden Sie die passende Ergänzung für die folgenden vier Sätze:- Die Funktion kommt von links unten und verläuft nach rechts unten, wenn...
- Die Funktion kommt von links unten und verläuft nach rechts oben, wenn...
- Die Funktion kommt von links oben und verläuft nach rechts unten, wenn...
- Die Funktion kommt von links oben und verläuft nach rechts oben, wenn...
Beachten Sie, dass möglicherweise nicht alle 4 Fälle vorkommen!
Die Bewertung des Globalverlaufes ist natürlich auch für ganzrationale Funktionen höheren Grades möglich. Exemplarisch betrachten wir im Folgenden ganzrationale Funktionen bis zum Grad 5 und versuchen anschließend, eine allgemeingültige Regel zu formulieren.
Die folgenden Applets zeigen nacheinander jeweils eine ganzrationale Funktion 3ten, 4ten und 5ten Grades. Vervollständigen Sie für jede Funktionenklasse nochmals die 4 Sätze:
- Die Funktion kommt von links unten und verläuft nach rechts unten, wenn...
- Die Funktion kommt von links unten und verläuft nach rechts oben, wenn...
- Die Funktion kommt von links oben und verläuft nach rechts unten, wenn...
- Die Funktion kommt von links oben und verläuft nach rechts oben, wenn...
Beachten Sie auch hier, dass möglicherweise nicht immer alle 4 Fälle vorkommen!
ganzrationale Funktion 3ten Grades: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
ganzrationale Funktion 4ten Grades: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
ganzrationale Funktion 5ten Grades: f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+g
Formulieren Sie abschließend eine allgemeine Aussage zum Globalverlauf von ganzrationalen Funktionen indem Sie folgende Sätze vervollständigen: