Pythagorese drietallen
Eigenschap van Pythagoras
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde.
Symbolisch:
In een rechthoekige driehoek met als rechthoekszijden a en b en als schuine zijde c geldt a² + b² = c².
Pythagorese drietallen
Je kunt in het applet experimenteren met de de waarden van de zijden door het groene punt te verslepen. Je kunt ook zoomen en het tekenvenster verslepen.
Heel soms zijn de lengtes van de drie zijden gehele getallen. Dat is b.v. het geval voor 3, 4 en 5. Zulke drie getallen noemen we een Pythagorees drietal.
geschiedenis
Het is een typische vraag van wiskundigen: "kan ik nog meer van deze drietallen vinden?"
En ja hoor, op Babylonische kleitabletten uit 1750 vC vind je drietallen als (56,90,106), (119,120,169) en zelfs (12709,13500,18541). En ook in Indische geschriften uit de 6e eeuw vC worden dergelijke drietallen vermeld. De eerste zes drietallen zijn:
| a | b | c |
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 6 | 8 | 10 |
| 7 | 24 | 25 |
| 8 | 15 | 17 |
| 9 | 12 | 15 |
primitief drietal
Ken je één drietal, dan ken je er meteen oneindig veel, want als (a, b, c) een Pythagorees drietal is, dan is voor elk positief geheel getal k ook (ka, kb, kc) een Pythagorees drietal.
Voorbeeld: net zoals (3, 4, 5) zijn ook (6, 8, 10) en (9, 12, 15) Pythagorese drietallen. Een drietal waarbij a, b en c onderling ondeelbaar zijn, noemt men primitief.
wiskundige interesse
Wiskundigen ontdekten tal van eigenschappen in Pythagorese drietallen. Je vindt er een hele lijst in de Nederlandstalige pagina op wikipedia.
Wiskundigen zochten ook formules waarmee je Pythagorese drietallen kon vormen. Bekend zijn de formules van Euclides, Dickson en Maseres. Je leest er verder meer over in dit GeoGebraboek.