Idée du th de Moivre Laplace pour format html5
Partie : variable discrète :
Je répète un certain nombre de fois : n, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli, de paramètre p et X_n donne le nombre de succès.
On sait que X_n a une loi qui est la loi de distribution binomiale B(n;p) d'espérance mathématique : np et d'écart type sqrt(np(1-p)).
Cette loi peut s'illustrer par un diagramme bâtons : nombres de succès en X et probabilité de ce nombre de succès en y.
On peut en déduire la variable aléatoire X_n-np qui sera juste "translatée" et d'espérance nulle (np-np=0) on dit que l'on centre son écart type n'est pas modifié.
On peut en déduire la variable aléatoire Z_n=(X_n-np)/sqrt(np(1-p)) qui sera toujours d'espérance nulle mais dont l'écart type sera ainsi ramenée à 1 (on réduit).
Si n est grand, les "barres" sont donc nombreuses, pour avoir une meilleure illustration, au lieu de représenter les probabilités par la hauteur d'une bâton,
on va le faire par l'aire d'un rectangle. Mais sa base n'étant pas de 1 mais de 1/sqrt(np(1-p)), il faut alors un rectangle de hauteur, celle du bâton, multipliée par sqrt(np(1-p)).
Partie : variable continue
Magique :
Si n est très grand, on constate que la réunion des rectangles ressemble beaucoup à la surface sous la courbe de la fonction densité de la loi normale centrée réduite,
on va alors s'en servir et obtenir une approximation de p(a<Z_n<b) par p(a<Y<b) , où Y~N(0;1).