Copia de La Cicloide
Una cicloide es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre una línea recta directriz (en este caso el eje “x”), sin que la circunferencia se deslice.
La cicloide fue estudiada por primera vez por Nicolás de Cusa (1401-1464) y posteriormente por Mersenne (monje, amigo de Descartes).
Galileo en el año 1599 estudió la curva y fue el primero en darle el nombre con la que la conocemos.
En 1696 Bernoulli mostró que la cicloide representa la curva en la que un objeto experimentará el descenso más rápido por efecto de la gravedad (problema de la braquistócrona). Así mismo, la cicloide invertida (boca arriba) dio respuesta al problema tautócrono, consistente en encontrar la curva en la que dejando caer un objeto por la misma (por ejemplo una bola) éste llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida.
Galileo intentó averiguar el área bajo esta curva sumando diferentes segmentos rectos situados sobre la misma, mediante aproximación. Algunos años después, en 1634, Gilles P. de Roberval mostró la relación entre el área bajo la curva de la cicloide y el área del círculo que la genera, misma que con este applet estudiaremos.
En 1658, Christopher Wren obtuvo la relación entre el diámetro de la circunferencia generatriz y la cicloide, que también estudiaremos.
Note que en la parte superior cuenta con tres deslizadores: cambio de radio, número de vueltas y mover. Así como tres casillas: mostrar la curva, mostrar la recta tangente a la cicloide y ayuda (que no deberá activar hasta que se le indique)
1) Para iniciar dé clic sostenido al deslizador "mover" y muévalo hacia la derecha. Hágalo de una forma lenta.
2) Active la casilla “mostrar curva” y obtenga los datos correspondientes a “la longitud de la curva roja” y al “área bajo su curva”
3) Realice una tabla con cuatro columnas, donde incluya los datos: radio, área del círculo (que usted debe calcular A=pi * radio al cuadrado), la longitud de la curva roja y el área bajo su curva.
4) Limpie la pantalla, dando clic a la imagen de dos flechas curvas, mostrada en la parte superior derecha.
5) Modifique el radio utilizando el deslizador “cambiar radio” a un valor de r=2. Y mueva el deslizador “mover”
6) Agregue los nuevos datos a su tabla: radio, longitud y área bajo la curva.
7) Repita el proceso desde el punto 4, para otros radios.
8)n¿Qué relación detectó existe entre el radio y la longitud de la curva cicloide? ¿y entre el área del círculo y el área bajo la cicloide?
9) Si no ha podido encontrar las relaciones, active la casilla ayuda.
Consultar las siguientes páginas para mayor información:
Vídeo1: http://www.youtube.com/watch?v=1cpoY_toqSA&feature=related
Vídeo 2: http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=m8Qli77-K9o#!
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/introduccion.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide
http://almargendefermat.wordpress.com/2009/02/22/la-cicloide-i-braquistocrona-y-tautocrona/
Jesús Manzo Espín (Junio 2011, actualizado: Noviembre 2012), Creado con GeoGebra