Teorema de Dandelin
Teorema de Dandelin
Caso da Elipse
Proposição: Sejam um cone circular reto e um plano que o intersecta de tal modo que existam duas esferas que tangenciam simultaneamente o plano e o cone. Se e F são os pontos de interseção das esferas com os planos, então qualquer ponto P da interseção do cone com o plano é tal que não depende de P.
Demonstração:
Considere um cone C e duas esferas e que quando inseridas neste cone, tangenciam o plano de intersecção e todas as geratrizes de C.
A primeira coisa a notar é que os círculos e são gerados pela interseção do cone C com as esferas e respectivamente. Sejam R e Q as interseções da geratriz do cone que passa por P com os círculos e respectivamente. Cada geratriz do cone irá formar segmentos de mesmo comprimento entre os dois círculos.
Agora, considere um ponto P na interseção do plano com o cone. Seja o comprimento do segmento entre e que passa por P. Pela propriedade das tangentes às esferas, temos que e .
Então e esta soma será sempre constante, não importa onde o ponto P sobre a na interseção do plano com o cone é escolhido.
Caso da Hipérbole
Proposição:
Sejam um cone circular reto e um plano que o intersecta de tal modo que existam duas esferas que tangenciam simultaneamente o plano e o cone. Se e são os pontos de interseção das esferas com os planos, então qualquer ponto P da interseção do cone com o plano é tal que não depende de P.
Demonstração:
Diferente da construção das elipses, que utilizaram duas esferas em um cone, esta construção utiliza duas esferas e que quando inseridas e um cone de duas folhas, tangenciam o plano de intersecção e todas as geratrizes de C.
Suponha que P é um ponto arbitrário sobre na interseção do plano com o cone. Traçamos a geratriz do cone passando por P. Como as esferas e são tangentes ao cone, esta geratriz será tangente às esferas em R e Q.
Seja o comprimento do segmento entre e que passa por V . Pela propriedade das tangentes às esferas, temos que e .
Então e esta diferença será sempre constante, não importa onde o ponto P sobre a interseção do plano com o cone é escolhido.
Caso da Parábola
Proposição:
Sejam um cone circular reto e um plano que o intersecta de tal modo que exista uma esfera que tangencia simultaneamente o plano e o cone. Se F ́e o ponto de interseção da esfera com o plano, e da reta resultante da interseção entre o plano de corte e o plano ortogonal ao eixo do cone, então qualquer ponto P da interseção do cone com o plano de corte é tal que .
Demonstração:
Lembramos que esta proposição não foi provada por Dandelin e sim por Pierce Morton. No caso da parábola só haverá uma esfera tangente ao cone e o plano de corte.
Tal como acontece com a elipse e na hipérbole, o ponto em que a esfera intersecta o plano é o foco F da parábola. Outro objeto geométrico importante para esta demonstração é a reta diretriz que resulta da intersecção entre o plano de corte e o plano que contém o círculo resultante da interseção entre a esfera e o cone C. Então, seja Q o ponto de interseção do círculo com uma geratriz do cone paralela ao plano . Suponha que é um ponto arbitrário sobre a parábola e R o ponto de em que a esfera intersecta a geratriz que passa por P. Seja ainda a projeão ortogonal do ponto P sobre a reta d. Pela
propriedade das tangentes às esferas, temos que e .
O triângulo isósceles é semelhante ao triângulo , logo .
Podemos assim concluir que . Logo a distância entre o ponto P sobre a parábola ao foco é a mesma que a distância entre P e da diretriz d.