Afgeleide + opgaven 38 en 39
Even herhalen
Je hebt geleerd te werken met differentiequotiënten en differentiaalquotiënten.
Een differentiequotiënt geeft de gemiddelde verandering van y op een interval van een grafiek weer.
Een differentiaalquotiënt geeft de verandering in een punt (A) van een grafiek weer. Het differentiaalquotiënt wordt ook de richtingscoëficiënt van de raaklijn van de grafiek in punt A genoemd of de helling of de snelheid waarmeey verandert voor xA.
In plaats van differentiaalquotiënt zeg je ook wel afgeleide waarde.
Bij de functie a(t) = 1,2t2 kun je een hellingsfunctie a'(t) (afgeleide) opstellen, waarmee je voor elke t -waarde de snelheid kunt uitrekenen. Dit deed je in vorige paragraaf door voor een aantal t -waarden de helling uit te rekenen, je ziet dan al snel een regelmaat.
Maar deze formule kun je ook als volgt opstellen!
Bereken het differentiequotiënt op het interval [t, t+h]:
Als je nu h naar 0 laat naderen, dan wordt 1,2h verwaarloosbaar klein en houd je 2,4t over. Dus a'(t) = 2,4t.
a'(t) heet de afgeleide functie of hellingfunctie van a(t). Deze functie beschrijft voor elke t de helling van de grafiek van a.
Bekijk de applet. Verander h voor een aantal waarden en bekijk wat er gebeurt met de helling als je het interval steeds kleiner maakt. Als h naar 0 nadert krijg je de raaklijn in t = 4.
In de applet kun je h de waarde 0 geven. Waarom kan dat in de realiteit niet?
Dit komt omdat je niet mag delen door 0.
Opgave 38
Voor een zeilwagen geldt dat a = 1,1t2, hierin is t de tijd in seconden en a de afgelegde afstand in meters.
a. Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste 5 seconden.
b. Je gaat nu de snelheid op t = 5 op drie manieren berekenen.
d. Stel de formule op van a'(t) met behulp van de tabel in de vorige deelvraag.
- Bereken het differentiequotiënt met behulp van kleine intervallen, zoals bijvoorbeeld [5,5,001] .
- Bereken het differentiequotiënt op het interval b.v. [5, 5+h] en vereenvoudig de gevonden uitdrukking voor h ≠ 0 .
- Bereken de snelheid door de formule in je grafische rekenmachine in te voeren en te berekenen.
| t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| a'(t) |
Opgave 39
Voor de afgelegde afstand a van een karretje dat van een helling rolt geldt: a = 1,3t2 waarin t de tijd in seconden is.
a. Je kunt zelf een formule afleiden voor de snelheid als functie van t . Stel eerst het differentiequotiënt op het interval [t, t+h] op.
b. Als h de waarde 0 nadert, krijg je de snelheid voor een willekeurige waarde van t . Geef een formule voor de snelheid als functie van t .
c. De functie die je hebt gevonden heet de afgeleide van a(t). Welke betekenis heeft a'(5) in dit verband?
- a'(5) is de gemiddelde snelheid in de eerste 5 seconden;
- a'(5) is de afgelegde weg in de eerste 5 seconden;
- a'(5) is de snelheid op tijdstip t = 5.
Aandachtspunt!
Als er gevraagd wordt "bereken algebraisch of exact" dan moet je de hellingfunctie zelf afleiden. Natuurlijk kun je met de GR altijd je antwoord controleren!