Paràbola
La parábola com a lloc geomètric.
Donats un punt F i una recta r, que anomenarem focus i directriu respectivament, quin és el lloc geomètric dels punts del pla que estan a la mateixa distància del punt F i de la recta r?
Tasca 1
En una finestra gràfica nova, dibuixeu un punt F1(4,0), que serà el focus, i una recta d'equació x+4=0, que serà la directriu. Inseriu un punt lliscant, anomeneu-lo k que prengui valors entre 4 i 20 amb increment de 0.1. Dibuixeu una circumferència de centre F1 i radi k. A la línia d'entrada poseu: x+4=k (dibuixarà una recta paral·lela a la directriu a una distància k). Marqueu els dos punts d'intersecció d'aquesta darrera recta i la circumferència. Observeu que aquests dos punts compleixen que la la distància al focus i a la directriu és la mateixa.
Activeu el traç d'aquests 2 punts. Moveu el punt lliscant k i veureu el lloc geomètric dels punts del pla que estan a la mateixa distància del focus i de la directriu. Es tracta d'una recta, d'una circumferència, d'una el·lipse o una hipèrbola? No, es tracta d'una corba anomenada paràbola i el punt F i la recta r s'anomenen focus i directriu respectivament de la hipèrbola.
GeoGebra té una eina per dibuixar paràboles. Seleccioneu-la. Cliqueu sobre F i r. Observeu que la paràbola dibuixada coincideix amb el rastre negre. Observeu que a la Finestra algebraica ha aparegut un nou objecte i la seva expressió algebraica, és l'equació de la paràbola.
Tasca 2
L'equació general d'una paràbola, amb focus F(p,0) i directriu vertical x+p=0 és y2=4px. Si la paràbola té el focus a F(0,4) i directriu horitzontal y+p=0, l'equació és x2=4py
Tenint en compte aquesta fórmula, trobeu, fent servir llapis i paper, l'equació de la paràbola amb focus F(3,0) i directriu x+3=0.
Introduïu la fórmula a la línia d'Entrada.
Ha sortit una paràbola?
L'equació de la paràbola que es visualitza a la finestra algebraica és la mateixa que la que heu posat?
Com es visualitza el valor de p a la gràfica?
Utilitzeu el comandament Focus() per determinar el focus de la paràbola
Tasca 3
Descarregueu la imatge següent al vostre ordinador (cliqueu amb el botó dret sobre la imatge i seleccioneu Anomena i desa). Amb l'eina Imatge, que trobareu al penúltim bloc d'eines, inseriu la imatge al GeoGebra. Amb l'eina Paràbola, intenteu ajustar la paràbola a la imatge.
Tasca 4
Les paràboles tenen una curiosa propietat que pots observar en aquesta construcció. Uns rajos de llum que sortissin del focus A en direcció a la corba, en rebotar, sortirien en direcció perpendicular a la directriu (tots els rajos són paral·leles) o al revés tots els rajos que arriben perpendiculars a la directriu reboten en la corba i es concentren en el focus. Aquest fet s'utilitza en els forns solars, antenes parabòliques, etc.
Mou el punt P de la construcció següent i ho podràs observar.
Realitzeu aquesta construcció de forma semblant a la que heu realitzar les construccions dels capítols anteriors.