Material de apoio ao Quiz da Aula ao Vivo II (02 Agosto 2017)
Questão 1
Applet para a questão 1
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Visite as seções sobre convergência simples (pontual) e uniforme das sequências de funções, lá você vai rever estes dois conceitos.
Para verificar convergência pontual, independente do valor de que você escolher, você deve observar qual o comportamento do ponto P. Se você observar que o ponto P converge então a sequência de funções converge pontualmente para o associado.
Por exemplo, se você escolher e fizer o valor de crescer verá que a segunda coordenada de P converge para zero. Ou seja, em a sequência de funções converge pontualmente para zero em .
Faça isso para vários valores de até ter certeza do comportamento da sequência de funções.
Já para verificar a convergência uniforme, para qualquer valor de que você escolher, os termos terão que estar na faixa , onde é a função limite.
Questão 2
Applet para a questão 2
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A ideia para determinar se a convergência pontual ou uniforme ocorre é idêntica à da questão anterior.
Para verificar as descontinuidades de funções que são quociente de outras duas funções contínuas, basta observar quando o denominador se anula. Por exemplo, se tivermos funções e , ambas contínuas, a função só será descontínuas nos valores de para os quais .
Questão 3
Applet para a questão 3
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Para verificar se um valor está dentro do intervalo de convergência basta que você escolha este valor e faça crescer (tender ao infinito). Se, quando , a soma parcial (em vermelho) convergir para um valor fixo isso significa que o seu valor de está dentro do intervalo de convergência. Caso a soma parcial comece a crescer ou decrescer muito isso significa que você pegou um valor de que está fora do intervalo de convergência. Fazendo esse processo de observação você logo consegue verificar quais os valores máximos e mínimos que você pode escolher para de forma que a soma em vermelho ainda seja convergente.
Outra forma de observar qual é o intervalo de convergência é observar a função do termo geral da série, pelo seu aspecto é bem óbvio ver qual o intervalo de convergência.
Uma dica bacana é assistir os vídeos da seção sobre Séries de Potências (Seção 2.3) deste e-book.
Questão 4
Applet para a questão 4
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Para resolver esta questão é razoavelmente simples, observe o comportamento da função do termo geral da série. Mude o valor de e verá que o intervalo de convergência é bem claro, assim como na questão anterior e aumente o valor de para perceber mais claramente.
Podes resolver algebricamente para confirmar sua intuição.
Questão 5
Applet para a questão 5
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Se a função admite expansão em série de potências em torno de 2, então temos certeza da seguinte igualdade:
Basta que você saiba calcular a derivada n-ésima da função exponencial (é bem fácil, mas caso não lembre busque no seu livro de cálculo I).
Essa expansão é impressionante pois nos diz que ao invés de calcular o valor de eu posso simplesmente calcular a soma da série. As vezes nem é necessário saber o valor exato, muitas vezes o valor aproximado já é muito perto do valor exato. Portanto a dica, para o caso de você não querer calcular a derivada n-ésima e substituir na fórmula acima, é comparar o valor da função no gráfico da esquerda com os valores das somas parciais da direita e você descobrirá qual realmente aproxima os valores da função exponencial.
Lembre-se de algo importante, na prova você não vai poder contar com o auxílio do GeoGebra, então precisa saber resolver analiticamente.
