1101 Feladatok - mérés nélkül
Ebben a fejezetben olyan feladatokat gyűjtöttünk össze, amelyek az eddigi ismereteinkre – és eszköztárunkra – támaszkodva megoldhatók, bár olykor alaposabb meggondolásokat igényelnek. Javasoljuk olvasóinknak, hogy az itt közölt megoldásokat csak azt követően nézzék meg, hogy előzőleg megpróbálkoztak a feladat önálló megoldásával.
A feladatok megoldásához a P modell eljárásai közül elegendőek az első csoportba tartozó (méréseket nem igénylő) eljárások. Igaz ugyan, hogy ha bejelölünk egy szöget, akkor ezzel megkapjuk a mértékét is .
Bár az eredeti témánkon -a hiperbolikus (és az abszolut-) geometria modellezésén - kívül esik a gömbi geometria, a feladatok egy része megfogalmazható a gömbi geometriában is, ahol az egyenes szerepét a gömbi főkör veszi át. Ezeket az átfogalmazásokat, szemléltetésüket, megoldásukat részben megmutatjuk, részben olvasóinkra bízzuk. Ezzel azt szeretnénk megmutatni, hogy az euklideszi szerkesztések jó részt nem csak a hiperbolikus, hanem a gömbi geometriában is alkalmazhatók.
A gömbi geometriában érvényes fogalmak, tételek megfogalmazásában -megkülönböztetésül - a barna színt fogjuk használni. Fontosnak tartjuk megjegyezni, hogy a gömbi geometria nem azonos az un. elliptikus geometriával. Az elliptikus síkgeometriát pl. egy félgömbön lehetne modellezni, erre itt nem térünk ki. Az egyenes, szakasz, szög, háromszög kör, stb. megfelelőit a gömbi geometriában a szó elé tett G- jellel fogjuk megkülönböztetni.
- G_Pont: az adott (alap)gömb felületére illeszkedő (ott mozgatható) pont.
- G-Egyenes: a gömbi főkör: olyan kör, amelynek a sugara az alapgömb sugara, középpontja az alapgömb középpontja
- G-Szakasz: a G-egyenesen felvett két G-ponthoz tartozó rövidebbik körív; (A két pont nem lehet átellenes.)
- G-háromszög: gömbháromszög: három , nem egy G-egyegyenesre illeszkedő G-pontból, az általuk meghatározott három G-szakaszból, valamint, a gömbfelületnek az általuk határolt kisebb részéből álló geometriai alakzat;
- G-kör: az alapgömbre illeszkedő olyan kör, amelynek az (euklídeszi értelemben vett) középpontja nem az alapkör középpontja. Ennek a G-középpontja Az euklídeszi középpontján és az alapgömb középpontján átmenő alapgömb-átmérőnek a kör síkjához közelebbi végpontja.(Így a G-kör G-sugara sugara kisebb a negyedkörívnél.)
- G-szög: Két G-egyenes vagy G-kör síkjának a szöge, amely megegyezik a metszéspontjukba húzott érintők szögével.
Feladatok:
- Legyen adott a P-modellen az s kör (középpontjával és egy kerületi pontjával), valamint egy rajta kívül Levő P pont! Szerkesszük meg a P-re illeszkedő s-t érintő egyeneseket!
- Legyen adott a P- modellen az A,B,C és D pont, amelyek ebben a (ciklikus) sorrendben helyezkednek el a H-sik egy adott s körén. Mit állíthatunk a kapott ABCD húrnégyszög szögeiről? Hogyan tudnánk a sejtésünket igazolni?
- Legyen adott három (nem egy egyenesre eső) pont a P-modellen: A, B és C. Legyen D a B pontnak az AC szakasz
Ffelezőpontjára vonatkozó centrális tükörképe. Nevezzük paralelogrammának az így kapott ABCD négyszöget! Az euklideszi geometriában értelmezett paralelogrammának mely tulajdonságai lesznek érvényesek a hiperbolikus geometriában is, és melyek nem? - A háromszög szakaszfelező merőlegesei egyben magasság-egyenesei lesznek a súlyponti háromszögnek (amelynek a csúcsai az eredeti háromszög oldalfelező pontjai). Igaz-e ugyanez az összefüggés a P modellen? A kapott sejtésünket elfogadva igazolgató-e, hogy a háromszög magasságegyenesei egy pontban metszik egymást?
- Legyen adott a P-modellen az ABCΔ . Mi azoknak a D pontoknak a mértani helye, amelyekre teljesül, hogy az ABDΔ területe egyenlő az ABCΔ területével?
- A 2017. évi Arany Dániel verseny egyik feladata (Kezdők I.-II. kategória 2. forduló) így hangzott: Egy kört az AB átmérője két ívre osztja. Ezek közül az egyiken kijelöljük a C és D pontokat. Legyen az AC és BD egyenesek metszéspontja P, az AD és BC egyeneseké pedig Q! Mekkora szöget zár be a PQ egyenes az AB átmérővel? Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést a P-modellen, majd a gömbi geometriában is!
- Legyen A, B, C, D egy egyenes négy pontja, továbbá legyen M a CD szakasz felező merőlegesén mozgó pont! Legyen C' a C pontnak az (AM) egyenesre, D' a D pontnak a (BM) egyenesre vonatkozó tükörképe! Mit állíthatunk a (C’D’) egyenesről? Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést a P-modellen is!
- Legyen adott egy egyenesen két pont, A és B. Szerkesszünk olyan egymást érintő köröket, amelyek egyike az adott egyenest A-ban, másikat B-ben érinti. Mi a két kör közös pontjának a mértani helye? Oldjuk meg ezt a feladatot az euklideszi, a hiperbolikus geometriában, végül a gömbön is.
- Az előző feladat általánosítása: Legyen három, egymástól különböző pont A, B és C. Szerkesszünk három, egymást páronként érintő kört (ciklust), amelyek érintési pontjai A, B és C!
- Legyen adott egy kör (középpontjával és kerületi pontjával), valamint egy egyenes . Szerkesszük meg az adott egyenesre merőleges, az adott kört érintő egyeneseket.
- Legyen adott a P-modell két köre. Szerkesszük meg a két kör közös külső és belső érintőit!