Diferencial de una función en un punto
Definición, expresión analítica e interpretación geométrica.
Si la función admite derivada finita en un punto, su incremento puede expresarse así:
siendo un infinitésimo para cuando , tal que depende de (). Al primer término (parte principal del incremento) si , se lo llama diferencial de la función, y se escribe: Definición: Diferencial en el punto de una función derivable en ese punto, es el producto de la derivada por el incremento arbitrario de la variable independiente. En particular, considerada como función de , por se su derivada 1, será: ; luego, es indiferente poner o , por lo tanto: es decir: la diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente. (expresión analítica de la diferencial). El incremento o puede ser cualquiera, sea constante o variable, tienda o no a cero, se verifica que:
Esta igualdad permite considerar al primer miembro no solo como un cociente de diferenciales, sino como una nueva forma de expresar la derivada.
Interpretación geométrica: La diferencial de una función en un punto se interpreta geométricamente como el incremento que sufre la tangente cuando se pasa del punto a . Nota: es el error cometido al aproximar los incrementos y .