Rotazione del sistema di riferimento
Dopo aver studiato le funzioni goniometriche, possiamo pensare si applicare delle rotazioni al piano, che ci permettono di ottenere le equazioni di funzioni (o di figure, come le coniche) ruotate nello spazio.
Come nel caso delle traslazioni, si tratta innanzitutto di capire la relazione tra le coordinate di un punto qualsiasi visto nel sistema originale ed in quello ruotato. Affrontiamo il problema nell'animazione qui sotto.
Abbiamo ottenuto quindi le leggi che ci permettono, date le coordinate e nel sistema ruotato , di ottenere le coordinate e del sistema originario. Ovviamente per poter passare dalle une alle altre è necessario conoscere anche l'angolo di rotazione .
Come sappiamo per effettuare una trasformazione di funzioni e di punti ci servono sia le trasformazioni dirette che quelle inverse (dal sistema originale a quello trasformato e viceversa). Vediamo ora due modi per trovare le trasformazioni inverse di una rotazione.
LE FORMULE INVERSE (METODO ALGEBRICO)
Possiamo invertire le formule ricavando ad esempio : utilizziamo il metodo di riduzione e moltiplichiamo la prima equazione per e la seconda per
Sommando membro a membro le due equazioni facciamo scomparire i termini in ed otteniamo l'espressione per calcolare :
Con un procedimento analogo (moltiplicando la prima equazione per e la seconda per ) possiamo eliminare i termini in ed ottenere l'espressione per calcolare
da cui, sommando membro a membro, si ottiene
che, unita all'equazione (2.2), fornisce le trasformazioni inverse della (2.1)
UN METODO ALTERNATIVO PER TROVARE LE TRASFORMAZIONI INVERSE
Consideriamo di nuovo le trasformazioni dirette
Le abbiamo trovate partendo da questi presupposti:
- ho un sistema nero, di partenza, ed un sistema rosso, risultato di una rotazione di un angolo
- le trasformazioni dirette mi permettono di calcolare le coordinate nere partendo da quelle rosse
- combinando quanto detto ai due primi punti, possiamo concludere che le trasformazioni dirette mi permettono di calcolare le coordinate "diritte" utilizzando quelle ruotate di un angolo .
![Posso considerare il sistema rosso come ruotato di [math]\textcolor{#007700}{\alpha}[/math] rispetto al sistema nero, ma anche il sistema nero come ruotato di [math]\textcolor{blue}{-\alpha}[/math] rispetto al sistema rosso. Per farlo "ti basta" osservare il disegno ruotando la testa di [math]\alpha[/math] verso sinistra.](https://www.geogebra.org/resource/a6uarcfq/iIfz3gXCUb4BQoVZ/material-a6uarcfq.png)
Secondo questa nuova visione le coordinate rosse diventano le coordinate originali (non ruotate) e quindi per quanto osservato al punto 1.3) possono essere calcolate tramite quelle nere (che diventano le ruotate) tramite le leggi , in cui
- le coordinate rosse e nere si scambiano (quelle che erano originali diventano ruotate e viceversa)
- l'angolo non è più ma
L'animazione qui sotto ti permette di vedere un altro esempio di applicazione delle trasformazioi di rotazione.
NOTA: da sostituire con versione che permetta l'inserimento di qualsiasi funzione usando a(x,y) o(x,y) rispettivamente per le x e le y.