3 Schulaufgabe Mathematik 2013
Hier wird die Fläche zwischen zwei Kurven berechnet.
Parameterfunktion - graphisch dargestellt.1.0 Gegeben ist die Funktion f(x)=1/4 (x^3- 12 x^2+ 36 x) mit D_f=R
1.1 Ermitteln Sie Koordinaten und Art aller Extrempunkte des Graphen.
f´(x)=1/4 (3x^2- 24x + 36)=3/4 (x - 2)(x - 6)
f´´(x)=3/4 (2x - 8)=3/2 (x -4)
relative Extrempunkte: f´(x_e )= 0 ⇒ x^2- 8x + 12 = 0
x_(1/2)=(8±√(64-48))/2=(8±4)/2=4±2
x_e1= 2 ∨ 〖 x〗_e2= 6
f´´(x_e1)=-3 < 0 ; Rechtskrümmung HP (2/8)
f´´(x_e2)=+3 < 0 ; Linkskrümmung TP (6/0)
Randextrempunkte:
f´(0)=9 > 0 ⇒ relativer Tiefpunkt (0 / 0)
f´(8)=9 > 0 ⇒ relativer Hochpunkt (8 / 8)
1.2 Ermitteln Sie die maximalen Krümmungsintervalle und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an.
f´´(x)=3/2 (x - 4)>0 ⇒ (x - 4)>0 ⇒x > 4
Der Graph ist rechtsgekrümmt auf ├]-∞ ; 4] und linksgekrümmt auf [4 ;+ ∞ ┤[ ⇒ WEP (4 │ 4)
1.3 Stellen Sie die Gleichung der Wendetangente t_w (x) an den Graphen G_f auf. (2 BE)
t_w (x)= m x + t ; WEP (4 │ 4) ⇒ 4 = 4m +t ;
f´(4)=1/4 (3〖*4〗^2- 6 *4^2 +9/4 4^2 )=-3
t_w (x)= -3 x + 16
1.3 Zeichnen Sie den Graphen für G_f für 0≤x≤8 und die Wendetangente G_(t_w ) für 3≤x≤5
in ein kartesisches Koordinatensystem (Einheit 1 LE = 1cm). (4 BE)