Die Linearfaktorzerlegung
Hat eine Funktion f(x) eine Nullstelle x1, so ist sie - wie wir bei der Polynomdivision bereits gesehen haben - durch (x-x1) teilbar. Das Ergebnis, das sich bei der Polynomdivision ergibt, ist wiederum ein Funktionsterm, den wir nun mit g(x) bezeichnen:
f(x):(x-x1) = g(x)
Nach Multiplikation mit (x-x1) ergibt sich: f(x) = g(x)(x-x1)
Wir halten das Ergebnis wie folgt fest: Hat f(x) die Nullstelle x1, so lässt sich von f(x) der Linearfaktor (x-x1) "abspalten". D.h. f(x) lässt sich als Produkt aus dem so genannten Linearfaktor (x-x1) und einer Restfunktion g(x) umschreiben, deren Grad übrigens um genau 1 kleiner sein muss als der Grad von f(x).
Hinweis für Freaks: Dass sich f(x) tatsächlich in g(x)(x-x1) umschreiben lässt, haben wir bei der Polynomdivision eigentlich schon vorausgesetzt und nicht wirklich bewiesen. Da steckt eigentlich der so genannte Reduktionssatz dahinter. Den kann man beweisen. Wer wissen will, was dieser Satz genau sagt und wie er bewiesen werden kann, der darf sich das folgende Arbeitsblatt anschauen (bitte anklicken). (Aber nur Freaks!)
Reduktionssatz
Nun würden wir nach der Polynomdivision ja g(x) = 0 setzen und die weiteren Nullstellen berechnen. Für g(x) gilt natürlich auch: Ist x2 eine Nullstelle, so lässt sich der Linearfaktor (x-x2) abspalten, d.h. g(x) lässt sich umschreiben in g(x) = h(x)(x-x2), wobei der Grad von h(x) genau um 1 kleiner ist als der von g(x). Insgesamt haben wir damit:
f(x) = g(x)(x-x1) = h(x)(x-x2)(x-x1)
Die lässt sich solange weiter machen, bis entweder die Restfunktion keine Nullstellen mehr besitzt oder f(x) komplett in Linearfaktoren zerlegt ist. Letzteres würde für eine ganzrationale Funktion n-ten Grades so aussehen:
f(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn)
wobei x1, x2, x3, ... xn die n Nullstellen der Funktion f(x) sind. Hier ist also die Funktion vollständig in Linearfaktoren zerlegt. Der Term auf der rechten Seite heißt Linearfaktorzerlegung von f(x). Es gilt also der folgende Satz:
Satz
Hat eine ganzrationale Funktion n-ten Grades genau n Nullstellen, dann lässt sie sich in die Linearfaktorzerlegung umschreiben:
f(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn) wobei x1, x2, x3, ... xn die n Nullstellen der Funktion f(x) sind. a ist ein Vorfaktor, und zwar genau derselbe Vorfaktor, der in f(x) vor dem Summanden mit dem höchsten Exponenten steht.
Beispiel
Zugegeben, das klingt alles ziemlich abstrakt. Schauen wir uns ein Beispiel an.
Gegeben sei die Funktion . Diese Funktion 3-ten Grades hat - wie wir gleich sehen werden - genau 3 Nullstellen. Die Aufgabe lautet nun, f(x) in die Linearfaktorzerlegung umzuschreiben.
1. Schritt: Nullstellen berechnen:
oder
MNF: ,
2. Schritt: Linearfaktorzerlegung aufschreiben:
oder vereinfacht:
Durch Ausmultiplizieren können Sie nachrechnen, dass dieser Term tatsächlich äquivalent zum Ausgangsterm oben ist. Wie Sie sehen ist der Vorfaktor 2 in der Linearfaktorzerlegung derselbe wie der Faktor 2 vor dem x3 in dem Ausgangsterm. Von dort wird er auch einfach abgeschrieben.
Die Linearfaktorzerlegung hat den großen Vorteil, dass man die Nullstellen von f darin einfach ablesen kann. Also: Immer freuen, wenn die Funktion einmal in dieser Form angegeben wird!
Abschließend können Sie nun Ihr Verständnis überprüfen und Einüben. Klicken Sie dazu das folgende Aufgabenblatt an und bearbeiten Sie die Aufgaben. Lösungen finden Sie ebenfalls auf dem Blatt.
