11.3 Definição de derivadas parciais

Em geral, se é uma função de duas variáveis e , suponha que deixemos somente variar enquanto mantemos fixo o valor de , por exemplo, fazendo , onde é uma constante. Estaremos então considerando, realmente, uma função de uma única  variável , a saber, . Se g tem derivada em a, nós a chamaremos derivada parcial de em relação a em e a denotaremos por . Assim, onde Pela definição de derivada, temos Da mesma forma, a derivada parcial de em relação a em , denotada por é obtida mantendo-se fixo () e determinando-se a derivada em da função :

Se agora deixarmos o ponto variar, fazendo e , e se tornam funções de duas variáveis.

Existem diversas notações alternativas para as derivadas parciais. Por exemplo, em vez de , podemos escrever ou (para indicar a derivação em relação à primeira variável) ou . Mas aqui não pode ser interpretada como uma razão de diferenciais. Se , temos as seguintes notações para a derivada parcial de em relação à : Analogamente, para a derivada parcial de em relação à , temos as notações:

Para calcular as derivadas parciais, tudo o que temos a fazer é nos lembrarmos, a partir da equação , que a derivada parcial com relação a é a derivada ordinária da função de uma única variável obtida mantendo-se fixo o valor de . Então, temos a seguinte regra: 1. Para encontrar , trate como uma constante e derive com relação a . 2. Para encontrar , trate como uma constante e derive com relação a .