X(45) X(9)-beth conjugate of X(1)
X(9)-beth conjugate of X(1)
X(9) is the Mittenpunkt. This is constructed as follows:
Draw the lines between the centers of the excircles of the triangle and the midpoints of the sides. The Middenpunkt is the point where the three lines cross.
X(1) is the incenter.
A beth- conjugate is defined as follows:
Let P = p : q : r and U = u : v : w be points, neither lying on a sideline of ABC.
The P beth conjugate of U is the point h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),
where
h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,
where a', b', c' are - a + b + c, a - b + c, a + b - c.
The barycentric coordinates of this point depend on the lenghts of the sides of the triangle.
X(9)-beth toegevoegde van X(1)
X(9) is het middenspunt. Dit construeer je als volgt:
Teken de lijnen tussen de middelpunten van aangeschreven cirkels van de driehoek en de middens van de drie zijden. Het middenspunt is het punt waar deze lijnen elkaar snijden.
X(1) is het middelpunt van de ingeschreven cirkel.
De P-beth toegevoegde van U is het punt h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),
met
h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,
waarin a', b', c' gelijk zijn aan - a + b + c, a - b + c, a + b - c
De barycentrische coördinaten van dit punt worden bepaald door de lengtes van de zijden van de driehoek.